La función de coste Huber es un compromiso entre MAE y MSE, ese compromiso se define con un parámetro llamado delta $\delta$. La siguiente gráfica compara MAE, MSE y distintos valores de delta.

• Si delta tiene en valor cercano a 1, tenderá a parecerse a MAE
• Si delta tiene un valor elevado, tenderá a parecerse a MSE

Su uso en Keras es:

model.compile(loss=tf.keras.losses.Huber(delta=3))

Mas información:

• Huber class
• Using Huber loss with TensorFlow 2 and Keras
• Huber loss en Wikipedia

El Backpropagation es el algoritmo que optimiza el entrenamiento de la red. Calcular el gradiente (o derivada) de toda la red es muy costoso. Se basa en la idea de que los parámetros de una capa no dependen de la capa anterior.

Si volvemos a ver nuestra red neuronal de ejemplo, podemos calcular los pesos de la neurona 5 sin que influya en como van a ser los pesos de las neuronas 2, 3 y 4. Es decir que empezamos con las neuronas de las capas más hacía la salida y una vez calculados sus pesos , calculamos los parámetros de las capa anterior (más hacia la entrada) , y eso significa ir hacia atrás o backpropagation.

Con backpropagation acabamos de ver el orden en el que se calculan los parámetros de cada neurona y a continuación vamos a ver con el descenso de gradiente como calculamos los parámetros de una neurona.

Junto con el backpropagation aparece otro concepto llamado regla de la cadena o chain rule que se usa para junto al backpropagation para hacer menos cálculos. Está relacionado con el cálculo de derivadas.

En los siguientes videos está explicado perfectamente el backpropagation y la chain rule:

• ¿Qué es una Red Neuronal? Parte 3 : Backpropagation | DotCSV: Video
• ¿Qué es una Red Neuronal? Parte 3.5 : Las Matemáticas de Backpropagation | DotCSV: Video

Durante el tema hemos visto los gráficos que explican el descenso de gradiente. Veamos ahora como se pueden hacer dichos gráficos en Python.

La función que coste que hemos usado es la siguiente

$$ loss(w_0,w_1)=3(1-w_0)^2e^{-w_0^2-(w_1+1)^2}-10(\frac{w_0}{5}-w_0^3-w_1^5)e^{-w_0^2-w_1^2}-\frac{1}{3}e^{-(w_0+1)^2-w_1^2} $$

cuya gráfica es la siguiente:

En python la función $loss(w_0,w_1)$ con NumPy sería así:

def loss(w_0,w_1):
    return  3*(1 - w_0)**2 * np.exp(-w_0**2 - (w_1 + 1)**2)  - 10*(w_0/5 - w_0**3 - w_1**5)*np.exp(-w_0**2 - w_1**2) - 1./3*np.exp(-(w_0 + 1)**2 - w_1**2) 

Y el algoritmo que calcula cada uno de los $w_0,w_1$ del descenso de gradiente es el siguiente:

def get_puntos_descenso_gradiente(epochs,learning_rate,w_0_original,w_1_original):

    w_0=w_0_original
    w_1=w_1_original

    puntos_descenso_gradiente=np.array([[w_0,w_1]])
    
    for epoch in range(epochs): 
        h=0.00001
        
        gradiente_w_0=(loss(w_0+h,w_1)-loss(w_0,w_1))/h
        gradiente_w_1=(loss(w_0,w_1+h)-loss(w_0,w_1))/h        

        #Nuevos valores de los pesos
        w_0=w_0-learning_rate*gradiente_w_0
        w_1=w_1-learning_rate*gradiente_w_1

        puntos_descenso_gradiente=np.append(puntos_descenso_gradiente,[[w_0,w_1]], axis=0)           

    return puntos_descenso_gradiente

Si ejecutamos lo siguiente:

get_puntos_descenso_gradiente(5,0.03,-0.35,-0.67)

El resultado es:

array([[-0.35      , -0.67      ],
       [-0.26931594, -0.72470447],
       [-0.13292324, -0.838827  ],
       [ 0.0654496 , -1.06459902],
       [ 0.24087009, -1.40749396],
       [ 0.2657862 , -1.59573582]])

Que son cada uno de los valores de $w_0,w_1$ que empiezan en -0.35, -0.67 y acaban en 0.2657862, -1.59573582$

Pasamos ahora a mostrar los valores dentro de la gráfica de la función, para ello hemos creado 2 funciones:

• plot_loss_function: Que dibuja la superficie con todos los colores
• plot_descenso_gradiente: Dibuja los puntos por donde va pasando el algoritmo del descenso de gradiente

def plot_loss_function(axes,fontsize=25,title=""):
    rango_w_0=np.linspace(-3,3,100)
    rango_w_1=np.linspace(-3,3,100)
    rango_w_0,rango_w_1=np.meshgrid(rango_w_0,rango_w_1)
    loss=loss_function(rango_w_0,rango_w_1)

    axes.contourf(rango_w_0,rango_w_1,loss,30,cmap="coolwarm")
    axes.set_xlabel('w₀',fontsize=fontsize,color="#003B80")  
    axes.set_ylabel('w₁',fontsize=fontsize,color="#003B80")
    axes.set_title(title)


def plot_descenso_gradiente(axes,puntos_descenso_gradiente):
    axes.scatter(puntos_descenso_gradiente[1:-1,0],puntos_descenso_gradiente[1:-1,1],13,color="yellow")
    axes.plot(puntos_descenso_gradiente[:,0],puntos_descenso_gradiente[:,1],color="yellow")
    axes.plot(puntos_descenso_gradiente[0,0],puntos_descenso_gradiente[0,1],"*",markersize=12,color="red")
    axes.plot(puntos_descenso_gradiente[-1,0],puntos_descenso_gradiente[-1,1],"*",markersize=12,color="blue")

Si ejecutamos el código:

figure=plt.figure(figsize=(16,15))
axes = figure.add_subplot()
plot_loss_function(axes)

plot_descenso_gradiente(axes,get_puntos_descenso_gradiente(5,0.03,-0.35,-0.67))

Vemos la siguiente gráfica donde se muestran los puntos que hemos obtenido de la función get_puntos_descenso_gradiente

Podemos mejorar nuestro código en Python haciendo que podamos usar directamente los Optimizers de Keras y de esa forma ver como funciona cada uno de ellos. Para poder usarlos directamente vamos a creas las nuevas funciones loss_tf y get_puntos_descenso_gradiente_optimizer adecuadas a TensorFlow y Keras.

def loss_tf(w_0,w_1):
    return  3*(1 - w_0)**2 * tf.exp(-w_0**2 - (w_1 + 1)**2)  - 10*(w_0/5 - w_0**3 - w_1**5)*tf.exp(-w_0**2 - w_1**2) - 1./3*tf.exp(-(w_0 + 1)**2 - w_1**2) 

def get_puntos_descenso_gradiente_optimizer(epochs,optimizer_function,w_0_init,w_1_init):

    puntos_descenso_gradiente=np.array([[w_0_init,w_1_init]])

    w_0=w_0_init
    w_1=w_1_init
    for epoch in range(epochs): 
        var_w_0=tf.Variable(w_0)
        var_w_1=tf.Variable(w_1)

        optimizer_function.minimize(lambda: loss_tf(var_w_0,w_1),  var_list=[var_w_0])
        optimizer_function.minimize(lambda: loss_tf(w_0,var_w_1),  var_list=[var_w_1])

        w_0=var_w_0.numpy()
        w_1=var_w_1.numpy()      

        puntos_descenso_gradiente=np.append(puntos_descenso_gradiente,[[w_0,w_1]], axis=0)           

    return puntos_descenso_gradiente

Lo que ha cambiado principalmente es la función get_puntos_descenso_gradiente_optimizer no hace cálculo del gradiente (derivada) ni actualiza los parámetros, sino que llama a la función de Keras de optimización.

Si usamos get_puntos_descenso_gradiente_optimizer ahora con tf.keras.optimizers.SGD

get_puntos_descenso_gradiente_optimizer(5,tf.keras.optimizers.SGD(learning_rate=0.03),-0.35,-0.67)

array([[-0.35      , -0.67      ],
       [-0.269319  , -0.72470832],
       [-0.13292952, -0.83883744],
       [ 0.06544246, -1.06462073],
       [ 0.24086528, -1.40752137],
       [ 0.26578248, -1.59573841]])

Y podemos generar de la misma forma el gráfico:

figure=plt.figure(figsize=(16,15))
axes = figure.add_subplot()
plot_loss_function(axes)

plot_descenso_gradiente(axes,get_puntos_descenso_gradiente_optimizer(5,tf.keras.optimizers.SGD(learning_rate=0.03),-0.35,-0.67))

Y obviamente el resultado es el mismo