La función de coste Huber es un compromiso entre MAE y MSE, ese compromiso se define con un parámetro llamado delta $\delta$. La siguiente gráfica compara MAE, MSE y distintos valores de delta.
Su uso en Keras es:
model.compile(loss=tf.keras.losses.Huber(delta=3))
Y he creado una gráfica similar para ver los resultados y no están mal
He mirado un poco por internet para ver si alguien los usaba y no he encontrado nada, supongo que será porque hacer el cálculo de una potencia con decimales es bastante costoso en tiempo.
Mas información:
El Backpropagation es el algoritmo que optimiza el entrenamiento de la red. Calcular el gradiente (o derivada) de toda la red es muy costoso. Se basa en la idea de que los parámetros de una capa no dependen de la capa anterior.
Si volvemos a ver nuestra red neuronal de ejemplo, podemos calcular los pesos de la neurona 5 sin que influya en como van a ser los pesos de las neuronas 2, 3 y 4. Es decir que empezamos con las neuronas de las capas más hacía la salida y una vez calculados sus pesos , calculamos los parámetros de las capa anterior (más hacia la entrada) , y eso significa ir hacia atrás o backpropagation.
Con backpropagation acabamos de ver el orden en el que se calculan los parámetros de cada neurona y a continuación vamos a ver con el descenso de gradiente como calculamos los parámetros de una neurona.
Junto con el backpropagation aparece otro concepto llamado regla de la cadena o chain rule que se usa para junto al backpropagation para hacer menos cálculos. Está relacionado con el cálculo de derivadas.
En los siguientes videos está explicado perfectamente el backpropagation y la chain rule:
Durante el tema hemos visto los gráficos que explican el descenso de gradiente. Veamos ahora como se pueden hacer dichos gráficos en Python.
La función que coste que hemos usado es la siguiente
$$ loss(w_0,w_1)=3(1-w_0)^2e^{-w_0^2-(w_1+1)^2}-10(\frac{w_0}{5}-w_0^3-w_1^5)e^{-w_0^2-w_1^2}-\frac{1}{3}e^{-(w_0+1)^2-w_1^2} $$
cuya gráfica es la siguiente:
En python la función $loss(w_0,w_1)$ con NumPy sería así:
def loss(w_0,w_1): return 3*(1 - w_0)**2 * np.exp(-w_0**2 - (w_1 + 1)**2) - 10*(w_0/5 - w_0**3 - w_1**5)*np.exp(-w_0**2 - w_1**2) - 1./3*np.exp(-(w_0 + 1)**2 - w_1**2)
Y el algoritmo que calcula cada uno de los $w_0,w_1$ del descenso de gradiente es el siguiente:
def get_puntos_descenso_gradiente(epochs,learning_rate,w_0_original,w_1_original): w_0=w_0_original w_1=w_1_original puntos_descenso_gradiente=np.array([[w_0,w_1]]) for epoch in range(epochs): h=0.00001 gradiente_w_0=(loss(w_0+h,w_1)-loss(w_0,w_1))/h gradiente_w_1=(loss(w_0,w_1+h)-loss(w_0,w_1))/h #Nuevos valores de los pesos w_0=w_0-learning_rate*gradiente_w_0 w_1=w_1-learning_rate*gradiente_w_1 puntos_descenso_gradiente=np.append(puntos_descenso_gradiente,[[w_0,w_1]], axis=0) return puntos_descenso_gradiente
Si ejecutamos lo siguiente:
get_puntos_descenso_gradiente(5,0.03,-0.35,-0.67)
El resultado es:
array([[-0.35 , -0.67 ], [-0.26931594, -0.72470447], [-0.13292324, -0.838827 ], [ 0.0654496 , -1.06459902], [ 0.24087009, -1.40749396], [ 0.2657862 , -1.59573582]])
Que son cada uno de los valores de $w_0,w_1$ que empiezan en -0.35, -0.67
y acaban en 0.2657862, -1.59573582$
Pasamos ahora a mostrar los valores dentro de la gráfica de la función, para ello hemos creado 2 funciones:
plot_loss_function
: Que dibuja la superficie con todos los coloresplot_descenso_gradiente
: Dibuja los puntos por donde va pasando el algoritmo del descenso de gradiente
def plot_loss_function(axes,fontsize=25,title=""): rango_w_0=np.linspace(-3,3,100) rango_w_1=np.linspace(-3,3,100) rango_w_0,rango_w_1=np.meshgrid(rango_w_0,rango_w_1) loss=loss_function(rango_w_0,rango_w_1) axes.contourf(rango_w_0,rango_w_1,loss,30,cmap="coolwarm") axes.set_xlabel('w₀',fontsize=fontsize,color="#003B80") axes.set_ylabel('w₁',fontsize=fontsize,color="#003B80") axes.set_title(title) def plot_descenso_gradiente(axes,puntos_descenso_gradiente): axes.scatter(puntos_descenso_gradiente[1:-1,0],puntos_descenso_gradiente[1:-1,1],13,color="yellow") axes.plot(puntos_descenso_gradiente[:,0],puntos_descenso_gradiente[:,1],color="yellow") axes.plot(puntos_descenso_gradiente[0,0],puntos_descenso_gradiente[0,1],"*",markersize=12,color="red") axes.plot(puntos_descenso_gradiente[-1,0],puntos_descenso_gradiente[-1,1],"*",markersize=12,color="blue")
Si ejecutamos el código:
figure=plt.figure(figsize=(16,15)) axes = figure.add_subplot() plot_loss_function(axes) plot_descenso_gradiente(axes,get_puntos_descenso_gradiente(5,0.03,-0.35,-0.67))
Vemos la siguiente gráfica donde se muestran los puntos que hemos obtenido de la función get_puntos_descenso_gradiente
Podemos mejorar nuestro código en Python haciendo que podamos usar directamente los Optimizers de Keras y de esa forma ver como funciona cada uno de ellos. Para poder usarlos directamente vamos a creas las nuevas funciones loss_tf
y get_puntos_descenso_gradiente_optimizer
adecuadas a TensorFlow y Keras.
def loss_tf(w_0,w_1): return 3*(1 - w_0)**2 * tf.exp(-w_0**2 - (w_1 + 1)**2) - 10*(w_0/5 - w_0**3 - w_1**5)*tf.exp(-w_0**2 - w_1**2) - 1./3*tf.exp(-(w_0 + 1)**2 - w_1**2) def get_puntos_descenso_gradiente_optimizer(epochs,optimizer_function,w_0_init,w_1_init): puntos_descenso_gradiente=np.array([[w_0_init,w_1_init]]) w_0=w_0_init w_1=w_1_init for epoch in range(epochs): var_w_0=tf.Variable(w_0) var_w_1=tf.Variable(w_1) optimizer_function.minimize(lambda: loss_tf(var_w_0,w_1), var_list=[var_w_0]) optimizer_function.minimize(lambda: loss_tf(w_0,var_w_1), var_list=[var_w_1]) w_0=var_w_0.numpy() w_1=var_w_1.numpy() puntos_descenso_gradiente=np.append(puntos_descenso_gradiente,[[w_0,w_1]], axis=0) return puntos_descenso_gradiente
Lo que ha cambiado principalmente es la función get_puntos_descenso_gradiente_optimizer
no hace cálculo del gradiente (derivada) ni actualiza los parámetros, sino que llama a la función de Keras de optimización.
Si usamos get_puntos_descenso_gradiente_optimizer
ahora con tf.keras.optimizers.SGD
get_puntos_descenso_gradiente_optimizer(5,tf.keras.optimizers.SGD(learning_rate=0.03),-0.35,-0.67)
array([[-0.35 , -0.67 ], [-0.269319 , -0.72470832], [-0.13292952, -0.83883744], [ 0.06544246, -1.06462073], [ 0.24086528, -1.40752137], [ 0.26578248, -1.59573841]])Vamos que el resultado es prácticamente el mismo que cuando lo hicimos manualmente.
Y podemos generar de la misma forma el gráfico:
figure=plt.figure(figsize=(16,15)) axes = figure.add_subplot() plot_loss_function(axes) plot_descenso_gradiente(axes,get_puntos_descenso_gradiente_optimizer(5,tf.keras.optimizers.SGD(learning_rate=0.03),-0.35,-0.67))
Y obviamente el resultado es el mismo