En este apartado vamos a ampliar las métricas que podemos usar con la clasificación binaria las cuales ya vimos en 7. Entrenamiento de redes neuronales c) Métricas.

Para ampliar nos vamos a basar en este diagrama (que se puede ver en Matriz de confusión en Wikipedia)

Las métricas que ya las hemos explicado en el tema de métricas son:

• Métricas básicas (Sensibilidad, Especificidad, FNR y FPR)
• Métricas derivadas según el teorema de bayes (PPV,NPV, FDR y FOR)

Las métricas que ahora vamos a ver son métricas que hacen la media entre alguna de las dos métricas que acabamos de indicar.

Para organizar las métricas según 2 criterios:

• Según que métricas juntan
  • Métricas básicas (Sensibilidad, Especificidad, FNR y FPR)
  • Métricas derivadas (PPV,NPV, FDR y FOR)
  • Métricas mixtas, que usa una básica y otra derivada.
• Según la fórmula que usan:
  • Media aritmética
  • Media armónica
  • Media geométrica
  • Suma-1
  • Ratio

Las 4 métricas básicas son Sensibilidad, Especificidad, FPR y FNR. Según eso existen las siguientes métricas:

• La siguiente tabla son métricas que existen (Tienen nombre)

Mas información:

• Youden Index and the optimal threshold for markers with mass at zero: El indice Youden es el máximo Informedness según el threshold

• La siguiente tabla son métricas que no existen (No tienen nombre)

Las 4 métricas derivadas son PPV, NPV, FDR y FOR.

• La siguiente tabla son métricas que existen (Tienen nombre)

• La siguiente tabla son métricas que no existen (No tienen nombre)

Son métricas que juntan una métrica básica con una métrica derivada. Debido a que existen 16 combinaciones no vamos a mostrar todas las que existen, sino solo las que he considerado interesantes.

• La siguiente tabla son métricas que existen (Tienen nombre)

• La siguiente tabla son métricas que no existen (No tienen nombre)

Veamos ahora otras métricas que si que existen pero no encajan en organización que habíamos creado.

Accuracy (Exactitud) mide la proporción de predicciones correctas sobre el total de predicciones realizadas. Por lo que su fórmula es:

$$ Accuracy=\frac{TP+TN}{TP+FN+FP+TN} $$

Debido a que usa los 4 valores vamos a expresar la misma fórmula usando Especificidad, Sensibilidad y Prevalencia. Esto se hace ya que así podremos usar la prevalencia que queramos y no la de nuestros datos.

$$ Accuracy=P(Predicción \; correcta|Predicción \; realizada) $$

Eso se puede expresar como la suma de 2 probabilidades

$$ P(Predicción \; correcta|Predicción \; realizada)=P(Positivo \cap Enfermo) + P(Negativo \cap Sano)= $$

$$ P(Positivo|Enfermo)*P(Enfermo)+P(Negativo|Sano)*P(Sano)=Sensibilidad*Prevalencia+Especificidad*(1-Prevalencia) $$

Vamos a ver que para la prevalencia de los datos, las 2 fórmulas son iguales.

$$ Sensibilidad*Prevalencia+Especificidad*(1-Prevalencia)=\frac{TP}{(TP+FN)}*\frac{(TP+FN)}{TP+FN+FP+TN}+\frac{TN}{(FP+TN)}*\frac{(FP+TN)}{TP+FN+FP+TN}= $$

$$ \frac{TP}{TP+FN+FP+TN}+\frac{TN}{TP+FN+FP+TN}=\frac{TP+TN}{TP+FN+FP+TN}=Accuracy $$

Por lo tanto:

$$ Accuracy=Sensibilidad*Prevalencia+Especificidad*(1-Prevalencia) $$

Veamos ahora la relación que hay entre Accuracy y Balanced Accuracy.

$$ Balanced \; Accuracy=\frac{Sensibilidad+Especificidad}{2} $$

Pero si calculamos Accuracy suponiendo que la $Prevalencia=0.5$ obtenemos:

$$ Accuracy=Sensibilidad*Prevalencia+Especificidad*(1-Prevalencia)= $$

$$ Sensibilidad*0,5+Especificidad*(1-0,5)=Sensibilidad*0,5+Especificidad*0,5= $$

$$ \frac{Sensibilidad}{2}+\frac{Especificidad}{2}=\frac{Sensibilidad+Especificidad}{2}=Balanced \; Accuracy $$

Este índice es la división entre 2 probabilidades:

$$ Indice \; Jaccard=\frac{P(Positivo \cap Enfermo)}{P(Positivo \cup Enfermo)}=\frac{TP}{TP+FP+FN} $$

Se deduce de la siguiente forma:

$$ \frac{P(Positivo \cap Enfermo)}{P(Positivo \cup Enfermo)}= $$

$$ \frac{P(Positivo|Enfermo)*P(Enfermo)}{P(Positivo)+P(Enfermo)-P(Positivo \cap Enfermo)}=\frac{P(Positivo|Enfermo)*P(Enfermo)}{P(Positivo)+P(Enfermo)-P(Positivo|Enfermo)*P(Enfermo)} $$

Sabiendo que:

$$ \begin{array} \\ P(Enfermo)&=&\frac{TP+FN}{TP+FN+FP+TN} \\ P(Sano)&=&\frac{FP+TN}{TP+FN+FP+TN} \\ P(Positivo)&=&\frac{TP+FP}{TP+FN+FP+TN} \\ P(Negativo)&=&\frac{FN+TN}{TP+FN+FP+TN} \\ P(Positivo|Enfermo)&=&\frac{TP}{TP+FN} \end{array} $$

Entonces:

$$ \frac{P(Positivo|Enfermo)*P(Enfermo)}{P(Positivo)+P(Enfermo)-P(Positivo|Enfermo)*P(Enfermo)}= $$

$$ \left ( \frac{TP}{TP+FN}*\frac{TP+FN}{TP+FN+FP+TN} \right ) \div \left (\frac{TP+FP}{TP+FN+FP+TN}+\frac{TP+FN}{TP+FN+FP+TN}-\frac{TP}{TP+FN}*\frac{TP+FN}{TP+FN+FP+TN} \right )= $$

$$ \left ( \frac{TP}{TP+FN+FP+TN} \right ) \div \left (\frac{TP+FP}{TP+FN+FP+TN}+\frac{TP+FN}{TP+FN+FP+TN}-\frac{TP}{TP+FN+FP+TN} \right )= $$

$$ \left ( \frac{TP}{TP+FN+FP+TN} \right ) \div \left (\frac{TP+FP+TP+FN-TP}{TP+FN+FP+TN} \right )=\left ( \frac{TP}{TP+FN+FP+TN} \right ) \div \left (\frac{TP+FP+FN}{TP+FN+FP+TN} \right )= $$

$$ \frac{TP}{TP+FP+FN}=Indice \; Jaccard $$

La métrica de Prevalence threshold está explicada en Prevalence threshold (ϕe) and the geometry of screening curves.

Lo único que diremos respecto a la formula es que en el artículo aparece como:

$$ Prevalence \; threshold=\frac{\sqrt{Sensibilidad(1-Especificidad)}+(Especificidad-1)}{Sensibilidad+Especificidad+1} $$ Que jugando un poco con los signos se obtiene la formula equivalente: $$ Prevalence \; threshold=\frac{\sqrt{Sensibilidad*FPR}-FPR}{Sensibilidad-FPR} $$

Es otra métrica pero que tiene en cuenta que los datos no estén balanceados.

El MMC tiene un valor entre -1 a 1. Siendo:

• 1 : El clasificador funciona perfectamente
• 0 : El clasificador acierta aleatoriamente
• -1 : El clasificador acierta peor que aleatoriamente, es decir que clasifica al revés "perfectamente"

$$MCC = \frac{ \mathit{TP} \times \mathit{TN} - \mathit{FP} \times \mathit{FN} } {\sqrt{ (\mathit{TP} + \mathit{FP}) ( \mathit{TP} + \mathit{FN} ) ( \mathit{TN} + \mathit{FP} ) ( \mathit{TN} + \mathit{FN} ) } }=\sqrt{TPR \times TNR \times PPV \times NPV}-\sqrt{FNR \times FPR \times FOR \times FDR}$$

Podemos hacer uso de la métrica con la función sklearn.metrics.matthews_corrcoef de sklearn

Ejemplo de uso:

from sklearn.metrics import matthews_corrcoef

y_true = [1,1,1,1,0,0,0,0]
y_pred = [1,1,1,1,0,0,0,0]
print("Valor para una predicción que acierta siempre=",matthews_corrcoef(y_true,y_pred))

y_true = [1,1,1,1,0,0,0,0]
y_pred = [1,1,0,0,1,1,0,0]
print("Valor para una predicción que acierta la mitad=",matthews_corrcoef(y_true,y_pred))

y_true = [1,1,1,1,0,0,0,0]
y_pred = [0,0,0,0,1,1,1,1]
print("Valor para una predicción que nunca acierta=",matthews_corrcoef(y_true,y_pred))

Valor para una predicción que acierta siempre= 1.0
Valor para una predicción que acierta la mitad= 0.0
Valor para una predicción que nunca acierta= -1.0

Mas información:

• sklearn.metrics.matthews_corrcoef
• Matthews Correlation Coefficient is The Best Classification Metric You’ve Never Heard Of
• Ten quick tips for machine learning in computational biology
• Phi Coefficient A.K.A Matthews Correlation Coefficient (Binary Classification)
• The advantages of the Matthews correlation coefficient (MCC) over F1 score and accuracy in binary classification evaluation
• Phi coefficient-Wikipedia