6. Redes neuronales: Apendices

El siguiente código en Python nos muestra las funciones de distribución de cada uno de los inicializadores. El ejemplo no tiene utilidad real mas allá de mostrar los datos y las gráficas de los inicializadores.

import tensorflow as tf
import keras as keras
from keras.models import Sequential
from keras.layers import Dense
import pandas as pd

initializers=["random_uniform","random_normal","glorot_uniform","glorot_normal","he_uniform","he_normal","lecun_uniform","lecun_normal","zeros","ones"]
model=Sequential()
for initializer in initializers:
    model.add(Dense(1000, input_dim=1000,kernel_initializer=initializer))
model.add(Dense(1000))
model.compile()

df=pd.DataFrame()
for index,initializer in enumerate(initializers):
    pesos=(model.layers[index].get_weights()[0]).reshape(-1)
    df[initializer]=pesos

df.describe()

df.iloc[:,0:8].plot(kind = 'density', subplots = True,  layout = (5,2),figsize=(15,20),sharex = False)

	random_uniform	random_normal	glorot_uniform	glorot_normal	he_uniform	he_normal	lecun_uniform	lecun_normal	zeros		ones
count	1000000.000000	1000000.000000	1000000.000000	1000000.000000	1000000.000000	1000000.000000	1000000.000000	1000000.000000	1000000.0	1000000.0
mean	-0.000022	-0.000005	-0.000010	 0.000020	 0.000054	 0.000019	-0.000008	-0.000040	0.0		1.0
std	 0.028850	 0.049970	 0.031639	 0.031590	 0.044715	 0.044714	 0.031611	 0.031635	0.0		0.0
min	-0.050000	-0.238984	-0.054772	-0.071899	-0.077459	-0.101682	-0.054772	-0.071899	0.0		1.0
25%	-0.025000	-0.033713	-0.027437	-0.022938	-0.038669	-0.032442	-0.027381	-0.023074	0.0		1.0
50%	-0.000047	 0.000047	-0.000014	 0.000056	 0.000099	 0.000064	 0.000006	-0.000038	0.0		1.0
75%	 0.024980	 0.033729	 0.027406	 0.022980	 0.038725	 0.032528	 0.027364	 0.022952	0.0		1.0
max	 0.050000	 0.232416	 0.054772	 0.071900	 0.077460	 0.101682	 0.054772	 0.071900	0.0		1.0

Ahora vamos a ver como se comportan 4 redes distintas según el número de capas, el inicializador y la función de activación usada

Mas información:

• He/Xavier initialization & activation functions: choose wisely
• Hyper-parameters in Action! Part II — Weight Initializers: Demostración sencilla de las fórmulas de Glorot y He.
• Kaiming He initialization: Demostración del inicializador He
• Artículos académicos originales sobre Glorot, He y LeCun:
  • Understanding the difficulty of training deep feedforward neural networks: Artículo original de Xavier Glorot sobre su inicializador.
  • Delving Deep into Rectifiers:Surpassing Human-Level Performance on ImageNet Classification: Artículo original de Kaiming He sobre su inicializador.
  • Efficient BackProp: Artículo original de Yann LeCun sobre su inicializador.
• Artículos académicos sobre la importancia de la inicialización en distintas redes:
  • A Comparison of Weight Initializers in Deep Learning-based Side-channel Analysis
  • Finding optimal hyperparameters of feedforward neural networks for solving differential equations using a genetic algorithm

Podemos crear nuestra propia función de activación

from tensorflow.keras import backend as K

def my_relu(x):
    return K.maximum(0.3*x, x)
  

Y usarla de las siguientes formas

• Usando directamente la función de activación

model.add(Dense(3, input_dim=1,activation=my_relu))

• Creando una capa de activación en base a la función de activación con tf.keras.layers.Activation o tf.keras.layers.Lambda

model.add(Dense(3, input_dim=1))
model.add(Dense(3, input_dim=1,activation=tf.keras.layers.Activation(my_relu)))

model.add(Dense(3, input_dim=1))
model.add(Dense(3, input_dim=1,activation=tf.keras.layers.Lambda(my_relu)))

Pero si nuestra función tiene un parámetro

from tensorflow.keras import backend as K

def my_relu(x,alpha):
    return K.maximum(alpha*x, x)
  

Solo podremos usar tf.keras.layers.Lambda

model.add(Dense(3, input_dim=1))
model.add(tf.keras.layers.Lambda(lambda x: my_relu(x,0.3)))

Para acabar vamos a ver como poder usar el nombre en una capa que nos hayamos creado nosotros usando el método tf.keras.utils.get_custom_objects

Vamos a definir un nombre de función de activación llamado relu_0_3 usando get_custom_objects()

from tensorflow.keras import backend as K
from tensorflow.keras.utils import get_custom_objects

def my_relu(x,alpha):
    return K.maximum(alpha*x, x)

get_custom_objects()['relu_0_3']=tf.keras.layers.Lambda(lambda x: my_relu(x,0.3))

Y simplemente lo usamos indicando el nombre de relu_0_3

model.add(Dense(3, input_dim=1,activation="relu_0_3"))

La fórmula de la sigmoide se obtiene a partir de la función $logit$ o $log odds$.

$$odds(p) = \frac{p}{1-p} $$ $$logit(p) = log(odds(p))=log(\frac{p}{1-p}) $$

Ahora:

$$logit(p) = ax+b $$ $$log(\frac{p}{1-p}) = ax+b $$

Si despejamos $p$ de la anterior fórmula:

$$ log(\frac{p}{1-p}) = ax+b \\ e^{log(\frac{p}{1-p})} = e^{ax+b} \\ \frac{p}{1-p}=e^{ax+b} \\ p=e^{ax+b} \cdot (1-p) \\ p=e^{ax+b}-pe^{ax+b} \\ p+pe^{ax+b}=e^{ax+b} \\ p(1+e^{ax+b})=e^{ax+b} \\ p=\frac{e^{ax+b}}{1+e^{ax+b}} \\ p=\frac{ \frac{e^{ax+b}}{e^{ax+b}} }{ \frac{1+e^{ax+b}}{e^{ax+b}} } \\ p=\frac{ 1 }{ 1+\frac{1}{e^{ax+b}} } \\ p=\frac{ 1 }{ 1+e^{-(ax+b)} } \\ $$

Que es exactamente la función sigmoide

• Más información
  • Odds (Wikipedia)
  • WHAT and WHY of Log Odds
  • Understanding Logistic Regression
  • Why sigmoid function instead of anything else?
  • Why Sigmoid: A Probabilistic Perspective

Ahora vamos a complicarlo un poco. Resulta que la función de activación tf.keras.activations.relu tiene un parámetro llamado alpha que hace que comporte como la función Leaky ReLU. Y también la capa tf.keras.layers.ReLU() tiene el mismo parámetro pero llamado negative_slope y obviamente hace exactamente lo mismo. Por lo tanto es igual a Leaky ReLU

model.add(Dense(3, input_dim=1,activation=tf.keras.layers.ReLU(negative_slope=0.3)))
model.add(Dense(3, input_dim=1,activation=tf.keras.layers.Lambda(lambda x: tf.keras.activations.relu(x,alpha=0.3))))

Con el siguiente código podemos ver el resultado:

class_relu=tf.keras.layers.ReLU(negative_slope=0.3)
class_leaky_relu=tf.keras.layers.LeakyReLU()

x=np.linspace(-5,5,500)
y_class_relu=class_relu(x)
y_relu=tf.keras.activations.relu(x, alpha=0.3).numpy()
y_class_leaky_relu=class_leaky_relu(x)


np.set_printoptions(threshold=np.inf)
np.set_printoptions(suppress=True)
np.column_stack((y_relu,y_class_leaky_relu,y_class_relu,y_relu-y_class_leaky_relu,y_class_relu-y_class_leaky_relu))

Además en el código cuente de TensorFlow podemos ver como realmente son iguales:

• https://github.com/tensorflow/tensorflow/blob/r2.4/tensorflow/python/keras/layers/advanced_activations.py#L74
• https://github.com/tensorflow/tensorflow/blob/r2.4/tensorflow/python/keras/layers/advanced_activations.py#L417

Existe otra capa de activación llamada PReLU que es similar a Leaky ReLU pero el valor de $\alpha$ se calcula automáticamente durante el entrenamiento, es decir que es como un parámetro mas de la red.

Mas información:

• How to use PReLU with Keras?

GELU es de la últimas funciones de activación "famosas" que han aparecido. GELU: Se usa con Transformers. La usa Google con BERT y OpenAI en GPT-2 y GPT-3.¹⁾

$$ GELU(x)=0.5x(1+ \frac {2}{ \sqrt {\pi} } \int_{0}^{ \frac {x}{ \sqrt {2}}} e ^ {-t^{2}}dt) $$

• Uso en Keras

model.add(Dense(3, input_dim=1,activation=tf.keras.activations.gelu))
model.add(Dense(3, input_dim=1,activation="gelu"))

Mas información:

• Gaussian Error Linear Unit Activates Neural Networks Beyond ReLU
• tf.keras.activations.gelu
• Gaussian Error Linear Units (GELUS)

Se usa cuando ReLU pero es un poco más lenta pero es mejor.

$$swish(x)=x \cdot sigmoid(x)=x \cdot \frac{1}{1+e^{-x}}=\frac{x}{1+e^{-x}}$$

• Uso en Keras

model.add(Dense(3, activation=tf.keras.activations.swish))
model.add(Dense(3, activation="swish"))

• tf.keras.activations.swish(x)
• Activation functions you might have missed
• Swish: A Self-Gated Activation Function: Paper original de Swish

Se usa cuando ReLU pero aunque es un poco más lenta es mejor. Es muy similar a Swish

$$ mish(x)=x \cdot tanh(softplus(x)) $$

• Uso en Keras

model.add(Dense(3, activation=tf.keras.activations.swish))
model.add(Dense(3, activation="mish"))

• [https://www.tensorflow.org/api_docs/python/tf/keras/activations/mish|tf.keras.activations.mish(x)]]
• Activation functions you might have missed
• Mish: A Self Regularized Non-Monotonic Activation Function: Paper original de Mish

Para cada problema puede que una función sea mejor que otra, es decir que cosiga entrenar en un menor número de épocas. Aun así a veces no puede preocupar el tiempo de CPU/GPU que usa cada función de activación.

En la siguiente gráfica se puede ver el tiempo de entrenamiento de una red neuronal con 14 capas y 1521 neuronas usando cada una de las funciones de activación.