$$\sum (x_i*c)=c \cdot \sum x_i$$

• Si $\overline{x}$ y $\overline{y}$ son las medias de $x_i$ y $y_i$,

$$\overline{x} = \frac{1}{n} \sum x_i \; \; \; \; \; \Rightarrow \; \; \; \; \; n \cdot \overline{x} =\sum x_i \; \; \; \; \; \Rightarrow \; \; \; \; \; \sum x_i=n \cdot \overline{x}$$

$$\overline{y} = \frac{1}{n} \sum y_i \; \; \; \; \; \Rightarrow \; \; \; \; \; n \cdot \overline{y} =\sum y_i \; \; \; \; \; \Rightarrow \; \; \; \; \; \sum y_i=n \cdot \overline{y}$$

• entonces

$$\sum (x_i \overline{y})=\overline{y} \sum x_i=\overline{y} \cdot n \cdot \overline{x}=n \cdot \overline{x} \cdot \overline{y}$$

$$\sum (y_i \overline{x} )=\overline{x} \sum y_i=\overline{x} \cdot n \cdot \overline{y}=n \cdot \overline{x} \cdot \overline{y}$$

$$\sum (\overline{x} \overline{y})=\overline{x} \cdot \overline{y} \cdot \sum 1=n \cdot \overline{x} \cdot \overline{y}$$

$$\sum (x_i \overline{x})=\overline{x} \sum x_i=\overline{x} \cdot n \cdot \overline{x}=n \cdot \overline{x} \cdot \overline{x}=n \cdot \overline{x}^2$$

$$\sum (y_i \overline{y} )=\overline{y} \sum y_i=\overline{y} \cdot n \cdot \overline{y}=n \cdot \overline{y} \cdot \overline{y}=n \cdot \overline{y}^2$$

$$\sum \overline{x}^2=\overline{x}^2 \sum 1=\overline{x}^2 \cdot n =n \cdot \overline{x}^2$$

$$\sum \overline{y}^2=\overline{y}^2 \sum 1=\overline{y}^2 \cdot n =n \cdot \overline{y}^2$$

• Vamos a calcular

$$\sum (x_i - \overline{x})(y_i - \overline{y})$$

• Ahora expandimos el producto en el sumatorio:

$$\sum (x_i - \overline{x})(y_i - \overline{y}) =$$

$$\sum (x_i y_i) - \sum (x_i \overline{y}) - \sum (\overline{x} y_i) + \sum (\overline{x} \overline{y})=$$

$$\sum (x_i y_i) - n \cdot \overline{x} \cdot \overline{y} - n \cdot \overline{x} \cdot \overline{y} + n \cdot \overline{x} \cdot \overline{y}=$$

$$\sum (x_i y_i) - n \cdot \overline{x} \cdot \overline{y}$$

$$σ_x^2=\frac{1}{n}\sum(x_i-\overline{x})^2=$$ ​ $$\frac{1}{n}\sum(x_i-\overline{x})(x_i-\overline{x})=$$

$$\frac{1}{n}\sum x_i^2 + \overline{x}^2 -2x_i\overline{x}=$$

$$\frac{1}{n}\sum x_i^2 + \sum \overline{x}^2 - 2\sum x_i\overline{x}=$$