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clase:iabd:pia:2eval:tema07-apendices

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clase:iabd:pia:2eval:tema07-apendices [2022/03/17 19:49]
admin [Backpropagation] 		clase:iabd:pia:2eval:tema07-apendices [2024/03/19 17:04] (actual)
admin [Más métricas]
Línea 1: Línea 1:
-====== 7. Entrenamiento de redes neuronales d) Apéndices ======+====== 7. Entrenamiento de redes neuronales e) Apéndices ======
  
 ===== Tipos de funciones de coste ===== ===== Tipos de funciones de coste =====
Línea 58: Línea 58:
   * [[https://www.youtube.com/watch?v=eNIqz_noix8|¿Qué es una Red Neuronal? Parte 3 : Backpropagation | DotCSV]]: Video   * [[https://www.youtube.com/watch?v=eNIqz_noix8|¿Qué es una Red Neuronal? Parte 3 : Backpropagation | DotCSV]]: Video
   * [[https://www.youtube.com/watch?v=M5QHwkkHgAA|¿Qué es una Red Neuronal? Parte 3.5 : Las Matemáticas de Backpropagation | DotCSV]]: Video   * [[https://www.youtube.com/watch?v=M5QHwkkHgAA|¿Qué es una Red Neuronal? Parte 3.5 : Las Matemáticas de Backpropagation | DotCSV]]: Video
 +
 +===== Creación de los gráficos del descenso de gradiente =====
 +Durante el tema hemos visto los gráficos que explican el descenso de gradiente. Veamos ahora como se pueden hacer dichos gráficos en Python.
 +
 +La función que coste que hemos usado es la siguiente
 +
 +$$
 +loss(w_0,w_1)=3(1-w_0)^2e^{-w_0^2-(w_1+1)^2}-10(\frac{w_0}{5}-w_0^3-w_1^5)e^{-w_0^2-w_1^2}-\frac{1}{3}e^{-(w_0+1)^2-w_1^2}
 +$$
 +
 +cuya gráfica es la siguiente:
 +
 +{{:clase:iabd:pia:2eval:descenso_gradiente_normal_3d.png?direct|}}
 +
 +
 +En python la función $loss(w_0,w_1)$ con **NumPy** sería así:
 +
 +<sxh python>
 +def loss(w_0,w_1):
 +    return  3*(1 - w_0)**2 * np.exp(-w_0**2 - (w_1 + 1)**2)  - 10*(w_0/5 - w_0**3 - w_1**5)*np.exp(-w_0**2 - w_1**2) - 1./3*np.exp(-(w_0 + 1)**2 - w_1**2) 
 +</sxh>
 +
 +Y el algoritmo que calcula cada uno de los $w_0,w_1$ del descenso de gradiente es el siguiente:
 +
 +<sxh python>
 +def get_puntos_descenso_gradiente(epochs,learning_rate,w_0_original,w_1_original):
 +
 +    w_0=w_0_original
 +    w_1=w_1_original
 +
 +    puntos_descenso_gradiente=np.array([[w_0,w_1]])
 +    
 +    for epoch in range(epochs): 
 +        h=0.00001
 +        
 +        gradiente_w_0=(loss(w_0+h,w_1)-loss(w_0,w_1))/h
 +        gradiente_w_1=(loss(w_0,w_1+h)-loss(w_0,w_1))/h        
 +
 +        #Nuevos valores de los pesos
 +        w_0=w_0-learning_rate*gradiente_w_0
 +        w_1=w_1-learning_rate*gradiente_w_1
 +
 +        puntos_descenso_gradiente=np.append(puntos_descenso_gradiente,[[w_0,w_1]], axis=0)           
 +
 +    return puntos_descenso_gradiente
 +
 +</sxh>
 +
 +
 +Si ejecutamos lo siguiente:
 +<sxh python>
 +get_puntos_descenso_gradiente(5,0.03,-0.35,-0.67)
 +</sxh>
 +
 +El resultado es:
 +<sxh base>
 +array([[-0.35      , -0.67      ],
 +       [-0.26931594, -0.72470447],
 +       [-0.13292324, -0.838827  ],
 +       [ 0.0654496 , -1.06459902],
 +       [ 0.24087009, -1.40749396],
 +       [ 0.2657862 , -1.59573582]])
 +</sxh>
 +
 +Que son cada uno de los valores de $w_0,w_1$ que empiezan en ''-0.35, -0.67'' y acaban en ''0.2657862, -1.59573582$''
 +
 +Pasamos ahora a mostrar los valores dentro de la gráfica de la función, para ello hemos creado 2 funciones:
 +  * ''plot_loss_function'': Que dibuja la superficie con todos los colores
 +  * ''plot_descenso_gradiente'': Dibuja los puntos por donde va pasando el algoritmo del descenso de gradiente
 +
 +
 +<sxh python>
 +def plot_loss_function(axes,fontsize=25,title=""):
 +    rango_w_0=np.linspace(-3,3,100)
 +    rango_w_1=np.linspace(-3,3,100)
 +    rango_w_0,rango_w_1=np.meshgrid(rango_w_0,rango_w_1)
 +    loss=loss_function(rango_w_0,rango_w_1)
 +
 +    axes.contourf(rango_w_0,rango_w_1,loss,30,cmap="coolwarm")
 +    axes.set_xlabel('w₀',fontsize=fontsize,color="#003B80")  
 +    axes.set_ylabel('w₁',fontsize=fontsize,color="#003B80")
 +    axes.set_title(title)
 +
 +
 +def plot_descenso_gradiente(axes,puntos_descenso_gradiente):
 +    axes.scatter(puntos_descenso_gradiente[1:-1,0],puntos_descenso_gradiente[1:-1,1],13,color="yellow")
 +    axes.plot(puntos_descenso_gradiente[:,0],puntos_descenso_gradiente[:,1],color="yellow")
 +    axes.plot(puntos_descenso_gradiente[0,0],puntos_descenso_gradiente[0,1],"*",markersize=12,color="red")
 +    axes.plot(puntos_descenso_gradiente[-1,0],puntos_descenso_gradiente[-1,1],"*",markersize=12,color="blue")
 +
 +</sxh>
 +
 +Si ejecutamos el código:
 +
 +<sxh python>
 +figure=plt.figure(figsize=(16,15))
 +axes = figure.add_subplot()
 +plot_loss_function(axes)
 +
 +plot_descenso_gradiente(axes,get_puntos_descenso_gradiente(5,0.03,-0.35,-0.67))
 +</sxh>
 +
 +Vemos la siguiente gráfica donde se muestran los puntos que hemos obtenido de la función ''get_puntos_descenso_gradiente''
 +
 +{{ :clase:iabd:pia:2eval:descenso_gradiente_algoritmo_vanilla_1.png?direct |}}
 +
 +
 +<note>
 +  * La estrella roja es desde donde empieza el algoritmo.Es decir, el valor inicial de los parámetros $w_0,w_1$
 +  * La estrella azul es donde acaba el algoritmo.Es decir, el valor tras el entrenamiento de los parámetros $w_0,w_1$
 +  * Los puntos amarillo son los //pasos// por lo que se va moviendo el algoritmo. Cada uno de los valores intermedios de los parámetros durante el entrenamiento.
 +</note>
 +
 +
 +==== Optimizadores de Keras ====
 + Podemos mejorar nuestro código en Python haciendo que podamos usar directamente los [[https://keras.io/api/optimizers/|Optimizers]] de Keras y de esa forma ver como funciona cada uno de ellos. Para poder usarlos directamente vamos a creas las nuevas funciones ''loss_tf'' y ''get_puntos_descenso_gradiente_optimizer'' adecuadas a TensorFlow y Keras.
 +
 +
 +<sxh python>
 +def loss_tf(w_0,w_1):
 +    return  3*(1 - w_0)**2 * tf.exp(-w_0**2 - (w_1 + 1)**2)  - 10*(w_0/5 - w_0**3 - w_1**5)*tf.exp(-w_0**2 - w_1**2) - 1./3*tf.exp(-(w_0 + 1)**2 - w_1**2) 
 +
 +def get_puntos_descenso_gradiente_optimizer(epochs,optimizer_function,w_0_init,w_1_init):
 +
 +    puntos_descenso_gradiente=np.array([[w_0_init,w_1_init]])
 +
 +    w_0=w_0_init
 +    w_1=w_1_init
 +    for epoch in range(epochs): 
 +        var_w_0=tf.Variable(w_0)
 +        var_w_1=tf.Variable(w_1)
 +
 +        optimizer_function.minimize(lambda: loss_tf(var_w_0,w_1),  var_list=[var_w_0])
 +        optimizer_function.minimize(lambda: loss_tf(w_0,var_w_1),  var_list=[var_w_1])
 +
 +        w_0=var_w_0.numpy()
 +        w_1=var_w_1.numpy()      
 +
 +        puntos_descenso_gradiente=np.append(puntos_descenso_gradiente,[[w_0,w_1]], axis=0)           
 +
 +    return puntos_descenso_gradiente
 +</sxh>
 +
 +Lo que ha cambiado principalmente es la función ''get_puntos_descenso_gradiente_optimizer''  no hace cálculo  del gradiente (derivada) ni actualiza los parámetros, sino que llama a la función de Keras de optimización.
 +
 +
 +Si usamos ''get_puntos_descenso_gradiente_optimizer'' ahora con ''tf.keras.optimizers.SGD''
 +<sxh python>
 +get_puntos_descenso_gradiente_optimizer(5,tf.keras.optimizers.SGD(learning_rate=0.03),-0.35,-0.67)
 +</sxh>
 +<sxh base>
 +array([[-0.35      , -0.67      ],
 +       [-0.269319  , -0.72470832],
 +       [-0.13292952, -0.83883744],
 +       [ 0.06544246, -1.06462073],
 +       [ 0.24086528, -1.40752137],
 +       [ 0.26578248, -1.59573841]])
 +</sxh>
 +Vamos que el resultado es prácticamente el mismo que cuando lo hicimos manualmente.
 +
 +Y podemos generar de la misma forma el gráfico:
 +<sxh python>
 +figure=plt.figure(figsize=(16,15))
 +axes = figure.add_subplot()
 +plot_loss_function(axes)
 +
 +plot_descenso_gradiente(axes,get_puntos_descenso_gradiente_optimizer(5,tf.keras.optimizers.SGD(learning_rate=0.03),-0.35,-0.67))
 +</sxh>
 +
 +
 +{{ :clase:iabd:pia:2eval:optimizer_sgd.png?direct |}}
 +
 +Y obviamente el resultado es el mismo
 +
 +===== Métricas =====
 +Las métricas que ya las hemos explicado en el tema de métricas son:
 +    * Métricas básicas (Sensibilidad, Especificidad, FNR y FPR)
 +    * Métricas derivadas según el teorema de bayes (PPV,NPV, FDR y FOR)
 +
 +Las métricas que ahora vamos a ver son métricas que hacen la media entre alguna de las dos métricas que acabamos de indicar.
 +
 +Para organizar las métricas según 2 criterios:
 +  * Según que métricas juntan
 +    * Métricas básicas (Sensibilidad, Especificidad, FNR y FPR)
 +    * Métricas derivadas (PPV,NPV, FDR y FOR)
 +    * Métricas mixtas, que usa una básica y otra derivada.
 +  * Según la fórmula que usan:
 +    * Media aritmética
 +    * Media armónica
 +    * Media geométrica
 +    * L1-Norma
 +    * L2-Norma
 +    * Ratio
 +==== Juntado dos Métricas Básicas ====
 +^  ^  Fórmula que usan  ^^^^^^
 +^  Métricas básicas que usan  ^  Media aritmética  ^  Media armónica  ^  Media geométrica  ^  L1-Norma  ^  L2-Norma  ^  Ratio  ^
 +| Sensibilidad (TPR) y Especificidad (TNR)  |    |    |    |  $Informedness=TPR+TNR-1$  |   |   |
 +| Sensibilidad (TPR) y FPR  |    |    |    |    |   |  $Positive \; likelihood \; ratio=\frac{TPR}{FPR}$ |
 +| Especificidad (TNR) y FNR  |    |    |    |    |   |  $Negative \; likelihood \; ratio=\frac{FNR}{TNR}$ |
 +| FPR y FNR  |    |    |   |   |
 +
 +
 +==== Juntado dos Métricas derivadas ====
 +
 +^  ^  Fórmula que usan  ^^^^^^
 +^  Métricas básicas que usan  ^  Media aritmética  ^  Media armónica  ^  Media geométrica  ^  L1-Norma  ^  L2-Norma  ^  Ratio  ^
 +| PPV y NPV  |    |    |    |  $Markdness=PPV+NPV-1$ |    |   |
 +| PPV y FOR  |    |    |    |   |   |    |
 +| NPV y FDR  |    |    |    |   |   |    |
 +| FDR y FOR  |    |    |    |   |   |    |
 +
 +
 +==== Métricas mixtas ====
 +Son métricas que juntan una métrica básica con una métrica derivada. Debido a que existen 16 combinaciones no vamos a mostrar todas las que existen, sino solo las que he considerado interesantes.
 +
 +  * La siguiente tabla son métricas que existen (Tienen nombre)
 +
 +^  ^  Fórmula que usan  ^^^^^^
 +^  Métricas básicas que usan  ^  Media aritmética  ^  Media armónica  ^  Media geométrica  ^  L1-Norma  ^  L2-Norma  ^  Ratio  ^
 +| PPV y Sensibilidad (TPR)  |    |  $F_{1}score=\frac{2}{\frac{1}{PPV}+\frac{1}{TPR}}$  |  $Fowlkes-Mallows \; index=\sqrt{PPV*TPR}$  |   |   |    |
 +| NPV y Especificidad (TNR)  |    |    |    |   |   |    |
 +
 +===== Más métricas =====
 +
 +
 +==== Indice Jaccard ====
 +Este índice es la división entre 2 probabilidades:
 +
 +$$
 +Indice \; Jaccard=\frac{P(Positivo \cap Enfermo)}{P(Positivo \cup Enfermo)}=\frac{TP}{TP+FP+FN}
 +$$
 +
 +  * Se deduce de la siguiente forma:
 +
 +$$
 +\frac{P(Positivo \cap Enfermo)}{P(Positivo \cup Enfermo)}=
 +$$
 +
 +$$
 +\frac{P(Positivo|Enfermo)*P(Enfermo)}{P(Positivo)+P(Enfermo)-P(Positivo \cap Enfermo)}=\frac{P(Positivo|Enfermo)*P(Enfermo)}{P(Positivo)+P(Enfermo)-P(Positivo|Enfermo)*P(Enfermo)}
 +$$
 +
 +  * Sabiendo que:
 +
 +$$
 +
 +\begin{array}
 +\\
 +P(Enfermo)&=&\frac{TP+FN}{TP+FN+FP+TN}
 +\\
 +
 +
 +
 +P(Sano)&=&\frac{FP+TN}{TP+FN+FP+TN}
 +\\
 +P(Positivo)&=&\frac{TP+FP}{TP+FN+FP+TN}
 +\\
 +P(Negativo)&=&\frac{FN+TN}{TP+FN+FP+TN}
 +\\
 +P(Positivo|Enfermo)&=&\frac{TP}{TP+FN}
 +\end{array}
 +$$
 +
 +  * Entonces:
 +
 +$$
 +\frac{P(Positivo|Enfermo)*P(Enfermo)}{P(Positivo)+P(Enfermo)-P(Positivo|Enfermo)*P(Enfermo)}=
 +$$
 +
 +$$
 +\left ( \frac{TP}{TP+FN}*\frac{TP+FN}{TP+FN+FP+TN} \right ) \div    \left (\frac{TP+FP}{TP+FN+FP+TN}+\frac{TP+FN}{TP+FN+FP+TN}-\frac{TP}{TP+FN}*\frac{TP+FN}{TP+FN+FP+TN} \right )=
 +$$
 +
 +$$
 +\left ( \frac{TP}{TP+FN+FP+TN} \right ) \div    \left (\frac{TP+FP}{TP+FN+FP+TN}+\frac{TP+FN}{TP+FN+FP+TN}-\frac{TP}{TP+FN+FP+TN} \right )=
 +$$
 +
 +$$
 +\left ( \frac{TP}{TP+FN+FP+TN} \right ) \div    \left (\frac{TP+FP+TP+FN-TP}{TP+FN+FP+TN} \right )=\left ( \frac{TP}{TP+FN+FP+TN} \right ) \div    \left (\frac{TP+FP+FN}{TP+FN+FP+TN} \right )=
 +$$
 +
 +$$
 +\frac{TP}{TP+FP+FN}=Indice \; Jaccard
 +$$
 +
 +  * Sin embargo también podemos definir el Indice Jaccard en función de la sensibilidad, la especificidad y la prevalencia.Usando el teorema de bayes podemos definir P(Positivo) de la siguiente forma:
 +
 +$$
 +P(Positivo)=\frac{P(Positivo|Enfermo)*P(Enfermo)}{P(Enfermo|Positivo)}=
 +$$
 +
 +$$
 +\frac{P(Positivo|Enfermo)*P(Enfermo)}{1} \div \frac{P(Positivo|Enfermo)*P(Enfermo)}{P(Positivo|Enfermo)*P(Enfermo)+P(Positivo|Sano)*P(Sano)}=
 +$$
 +
 +$$
 +Sensibilidad*Prevalencia+(1-Especificidad)*(1-Prevalencia)
 +$$
 +
 +
 +  * Y ahora usamos la formula de P(Positivo) en la definición del Indice Jaccard
 +
 +$$
 +Indice \; Jaccard=\frac{P(Positivo|Enfermo)*P(Enfermo)}{P(Positivo)+P(Enfermo)-P(Positivo|Enfermo)*P(Enfermo)}=
 +$$
 +
 +$$
 +\frac{Sensibilidad*Prevalencia}{Sensibilidad*Prevalencia+(1-Especificidad)*(1-Prevalencia)+Prevalencia-Sensibilidad*Prevalencia}=
 +$$
 +
 +$$
 +\frac{Sensibilidad*Prevalencia}{(1-Especificidad)*(1-Prevalencia)+Prevalencia}
 +$$
 +
 +  * Por lo tanto
 +
 +$$
 +Indice \; Jaccard=\frac{Sensibilidad*Prevalencia}{(1-Especificidad)*(1-Prevalencia)+Prevalencia}
 +$$
 +
 +
 +
 +==== Prevalence threshold ====
 +La métrica de Prevalence threshold está explicada en [[https://www.ncbi.nlm.nih.gov/pmc/articles/PMC7540853/|Prevalence threshold (ϕe) and the geometry of screening curves]].
 +
 +Lo único que diremos respecto a la formula es que en el artículo aparece como:
 +
 +$$
 +Prevalence \; threshold=\frac{\sqrt{Sensibilidad(1-Especificidad)}+(Especificidad-1)}{Sensibilidad+Especificidad+1}
 +$$
 +Que jugando un poco con los signos se obtiene la formula equivalente que aparece en Wikipedia:
 +$$
 +Prevalence \; threshold=\frac{\sqrt{Sensibilidad*FPR}-FPR}{Sensibilidad-FPR}
 +$$
 +
 +==== Diagnostic odds ratio ====
 +Se define como la división entre //Positive likelihood ratio (LR+)// y  //Negative likelihood ratio (LR-)//
 +
 +$$
 +DOR=\frac{LR+}{LR-}=\frac{TP*TN}{FP*FN}
 +$$
 +
 +  * Aunque también se puede definir en función de la sensibilidad y la especificidad
 +
 +$$
 +DOR=\frac{LR+}{LR-}=\frac{\frac{TPR}{1-TNR}}{\frac{1-TPR}{TNR}}=\frac{Sensibilidad*Especificidad}{(1-Sensibilidad)(1-Especificidad)}
 +$$
 +
 +==== Matthews Correlation Coefficient o MMC ====
 +Es otra métrica pero que tiene en cuenta que los datos no estén balanceados. 
 +
 +El MMC tiene un valor entre -1 a 1. Siendo:
 +  * 1 : El clasificador funciona perfectamente
 +  * 0 : El clasificador acierta aleatoriamente
 +  * -1 : El clasificador acierta peor que aleatoriamente, es decir que clasifica al revés "perfectamente"
 +
 +$$MCC = \frac{ \mathit{TP} \times \mathit{TN} - \mathit{FP} \times \mathit{FN} } {\sqrt{ (\mathit{TP} + \mathit{FP}) ( \mathit{TP} + \mathit{FN} ) ( \mathit{TN} + \mathit{FP} ) ( \mathit{TN} + \mathit{FN} ) } }$$
 +
 +
 +Podemos hacer uso de la métrica con la función ''sklearn.metrics.matthews_corrcoef'' de sklearn
 +
 +Ejemplo de uso:
 +<sxh python>
 +from sklearn.metrics import matthews_corrcoef
 +
 +y_true = [1,1,1,1,0,0,0,0]
 +y_pred = [1,1,1,1,0,0,0,0]
 +print("Valor para una predicción que acierta siempre=",matthews_corrcoef(y_true,y_pred))
 +
 +y_true = [1,1,1,1,0,0,0,0]
 +y_pred = [1,1,0,0,1,1,0,0]
 +print("Valor para una predicción que acierta la mitad=",matthews_corrcoef(y_true,y_pred))
 +
 +y_true = [1,1,1,1,0,0,0,0]
 +y_pred = [0,0,0,0,1,1,1,1]
 +print("Valor para una predicción que nunca acierta=",matthews_corrcoef(y_true,y_pred))
 +</sxh>
 +
 +
 +<sxh base>
 +Valor para una predicción que acierta siempre= 1.0
 +Valor para una predicción que acierta la mitad= 0.0
 +Valor para una predicción que nunca acierta= -1.0
 +</sxh>
 +
 +
 +
 +
 +
 +Mas información:
 +  * [[https://scikit-learn.org/stable/modules/generated/sklearn.metrics.matthews_corrcoef.html|sklearn.metrics.matthews_corrcoef]]
 +  * [[https://towardsdatascience.com/the-best-classification-metric-youve-never-heard-of-the-matthews-correlation-coefficient-3bf50a2f3e9a|Matthews Correlation Coefficient is The Best Classification Metric You’ve Never Heard Of]]
 +  * [[https://www.ncbi.nlm.nih.gov/pmc/articles/PMC5721660/|Ten quick tips for machine learning in computational biology]]
 +  * [[https://medium.com/@cdefaux/phi-coefficient-a-k-a-matthews-correlation-coefficient-binary-classification-11e2c29db91e|Phi Coefficient A.K.A Matthews Correlation Coefficient (Binary Classification)]]
 +  * {{ :clase:iabd:pia:2eval:the_advantages_of_the_matthews_correlation_coeffic.pdf |The advantages of the Matthews correlation coefficient (MCC) over F1 score and accuracy in binary classification evaluation}}
 +  * [[https://en.wikipedia.org/wiki/Phi_coefficient|Phi coefficient-Wikipedia]]
 +
 +
 +
 +
  
  
clase/iabd/pia/2eval/tema07-apendices.1647542963.txt.gz · Última modificación: 2022/03/17 19:49 por admin

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