$$ \sum x_i \cdot c=c \cdot \sum x_i $$

• Si $\overline{x}$ y $\overline{y}$ son las medias de $x_i$ y $y_i$,

$$ \overline{x} = \frac{1}{n} \sum x_i \; \; \; \; \; \Rightarrow \; \; \; \; \; n \cdot \overline{x} =\sum x_i \; \; \; \; \; \Rightarrow \; \; \; \; \; \sum x_i=n \cdot \overline{x} $$

$$ \overline{y} = \frac{1}{n} \sum y_i \; \; \; \; \; \Rightarrow \; \; \; \; \; n \cdot \overline{y} =\sum y_i \; \; \; \; \; \Rightarrow \; \; \; \; \; \sum y_i=n \cdot \overline{y} $$

• entonces

$$ \sum (x_i \overline{y})=\overline{y} \sum x_i=\overline{y} \cdot n \cdot \overline{x}=n \cdot \overline{x} \cdot \overline{y} $$

$$ \sum (y_i \overline{x} )=\overline{x} \sum y_i=\overline{x} \cdot n \cdot \overline{y}=n \cdot \overline{x} \cdot \overline{y} $$

$$ \sum (\overline{x} \overline{y})=\overline{x} \cdot \overline{y} \cdot \sum 1=n \cdot \overline{x} \cdot \overline{y} $$

$$ \sum (x_i \overline{x})=\overline{x} \sum x_i=\overline{x} \cdot n \cdot \overline{x}=n \cdot \overline{x} \cdot \overline{x}=n \cdot \overline{x}^2 $$

$$ \sum (y_i \overline{y} )=\overline{y} \sum y_i=\overline{y} \cdot n \cdot \overline{y}=n \cdot \overline{y} \cdot \overline{y}=n \cdot \overline{y}^2 $$

$$ \sum \overline{x}^2=\overline{x}^2 \sum 1=\overline{x}^2 \cdot n =n \cdot \overline{x}^2 $$

$$ \sum \overline{y}^2=\overline{y}^2 \sum 1=\overline{y}^2 \cdot n =n \cdot \overline{y}^2 $$

• Vamos a calcular

$$ \sum (x_i - \overline{x})(y_i - \overline{y}) $$

• Ahora expandimos el producto en el sumatorio:

$$ \sum (x_i - \overline{x})(y_i - \overline{y}) = $$

$$ \sum (x_i y_i - x_i \overline{y} - \overline{x} y_i +\overline{x} \overline{y})= $$

$$ \sum (x_i y_i) - \sum (x_i \overline{y}) - \sum (\overline{x} y_i) + \sum (\overline{x} \overline{y})= $$

$$ \sum (x_i y_i) - n \cdot \overline{x} \cdot \overline{y} - n \cdot \overline{x} \cdot \overline{y} + n \cdot \overline{x} \cdot \overline{y}= $$

$$ \sum (x_i y_i) - n \cdot \overline{x} \cdot \overline{y} $$

• Vamos a calcular

$$ \sum(x_i-\overline{x})^2 $$ ​

• Ahora expandimos el producto en el sumatorio:

$$ \sum(x_i-\overline{x})(x_i-\overline{x})= $$

$$ \sum (x_i^2 + \overline{x}^2 -2x_i\overline{x})= $$

$$ \sum x_i^2 + \sum \overline{x}^2 - 2\sum x_i\overline{x}= $$

$$ \sum x_i^2 + n \cdot \overline{x}^2 - 2n \cdot \overline{x}^2= $$

$$ \sum x_i^2 - n \cdot \overline{x}^2 $$

• Vamos a calcular

$$ \sum(y_i-\overline{y})^2 $$ ​

• Ahora expandimos el producto en el sumatorio:

$$ \sum(y_i-\overline{y})(y_i-\overline{y})= $$

$$ \sum (y_i^2 + \overline{y}^2 -2y_i\overline{y})= $$

$$ \sum y_i^2 + \sum \overline{y}^2 - 2\sum y_i\overline{y}= $$

$$ \sum y_i^2 + n \cdot \overline{y}^2 - 2n \cdot \overline{y}^2= $$

$$ \sum y_i^2 - n \cdot \overline{y}^2 $$