$$ \begin{array} \\ \Omega_A = \{ A, \overline{A} \} \\ \Omega_B = \{ B, \overline{B} \} \end{array} $$

• Si $A$ y $B$ son independiente

$$ \begin{array} \\ P(A \cup B)&=&P(A)+P(B) \\ P(A \cap B)&=&P(A)*P(B) \end{array} $$

• Si $A$ y $B$ son dependientes

$$ \begin{array} \\ P(A \cup B)&=&P(A)+P(B)-P(A \cap B) \\ P(A \cap B)&=&P(A|B)*P(B) \\ P(A \cap B)&=&P(B|A)*P(A) \end{array} $$

• Y según los valores absolutos:

$$ \begin{array} \\ \frac{|A \cap B|}{|B|}&=&P(A|B) \\ \frac{|A \cap B|}{|A|}&=&P(B|A) \\ \frac{|A \cap B|}{|A|+|\overline{A}|+|{B}|+|\overline{B}|}&=&P(A \cap B) \end{array} $$

Y por eso en el f1-score se usa la media armónica , ya que se saca la media de los 2 ratios (sensibilidad y precisión) y ambos tienen el mismo numerador cuando se calculan que es $TP$.

$$ \begin{array} \\ Sensibilidad=\frac{TP}{TP+FN}&\frac{1}{Sensibilidad}=\frac{TP+FN}{TP} \\ Precisión=\frac{TP}{TP+FP}&\frac{1}{Precisión}=\frac{TP+FP}{TP} \end{array} $$

$$ f1-score=\frac{2}{\frac{1}{Sensibilidad} + \frac{1}{Precisión}}=\frac{2}{\frac{TP+FN}{TP}+\frac{TP+FP}{TP}}= $$

$$ =\frac{2}{\frac{TP+FN+TP+FP}{TP}}=\frac{2}{\frac{2TP+FN+FP}{TP}}=\frac{2TP}{2TP+FN+FP} $$

$$ f1-score=\frac{2TP}{2TP+FN+FP} \quad \mathbf{(3)} \quad \text{Formula de f1-score según la definición} $$

$$ \text{Media entre Sensibilidad y Precision}=\frac{Nº \; positivos}{Nº \; totales}=\frac{TP+TP}{(TP+FN) + (TP+FP)}=\frac{2TP}{2TP+FN+FP} $$

$$ f1-score=\frac{2TP}{2TP+FN+FP} \quad \mathbf{(4)} \quad \text{Formula de f1-score sabiendo que se suman los numeradores y los denominadores de ambas métricas} $$

Acabamos de ver que las fórmulas $\mathbf{(3)}$ y $\mathbf{(4)}$ son iguales y en un caso la hemos obtenido usando la definición de f1-score y en la otra sumando los numeradores y denominadores de ambas métricas.

Veamos ahora por último como la media armónica es la forma natural para obtener lo mismo.

$$ \begin{array} \\ Sensibilidad=\frac{a}{b} & b=\frac{a}{Sensibilidad} \\ Precisión=\frac{a}{c} & c=\frac{a}{Precisión} \end{array} $$

Hemos dicho que la media de dos métricas , es sumar los numeradores y los denominadores.

$$ \text{Media entre Sensibilidad y Precision}=\frac{a+a}{b+c}=\frac{2a}{\frac{a}{Sensibilidad}+\frac{a}{Precisión}}= $$

$$ =\frac{2a}{a(\frac{1}{Sensibilidad}+\frac{1}{Precisión})}=\frac{2}{(\frac{1}{Sensibilidad}+\frac{1}{Precisión})}=f1-score $$

Si nos fijamos vuelve a ser la misma que la fórmula $\mathbf{(1)}$ siendo $\alpha=2TP$ y $\beta=TP$ y como $\alpha=2\beta$ sabemos que se puede calcular también usando la fórmula $\mathbf{(2)}$ sin que dependa de $TP$ sino únicamente de la Sensibilidad y la precisión.

Es decir, el objetivo de toda esta página era demostrar que la media entre la sensibilidad y precisión (f1-score) obligatoriamente se tiene que calcular usando la media armónica.

Por lo tanto el motivo de usar la media armónica NO ES que la media armónica da más peso a los valores más pequeños de las dos métricas, penalizando los desequilibrios entre Sensibilidad y Precisión sino que simplemente es porque la media armónica calcula exactamente el valor correcto de la media entre la Sensibilidad y Precisión.

Es decir que dar más peso a los valores más pequeños de las dos métricas es una consecuencia de la necesidad de usar la media armónica y no un objetivo.