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====== Sumatorios ======

===== Básico =====

$$
\sum x_i \cdot c=c \cdot \sum x_i
$$

===== Medias y simplificaciones =====


  * Si $\overline{x}$ y $\overline{y}$ son las medias de $x_i$ y $y_i$,

$$
 \overline{x} = \frac{1}{n} \sum x_i \; \; \; \; \; \Rightarrow \; \; \; \; \; n \cdot \overline{x} =\sum x_i \; \; \; \; \; \Rightarrow \; \; \; \; \; \sum x_i=n \cdot \overline{x}
$$

$$
     \overline{y} = \frac{1}{n} \sum y_i \; \; \; \; \; \Rightarrow \; \; \; \; \; n \cdot \overline{y} =\sum y_i \; \; \; \; \; \Rightarrow \; \; \; \; \; \sum y_i=n \cdot \overline{y}
$$

  * entonces

$$
\sum (x_i \overline{y})=\overline{y} \sum x_i=\overline{y} \cdot n \cdot \overline{x}=n \cdot \overline{x} \cdot \overline{y}
$$

$$
\sum (y_i \overline{x} )=\overline{x} \sum y_i=\overline{x} \cdot n \cdot \overline{y}=n \cdot \overline{x} \cdot \overline{y}
$$

$$
\sum (\overline{x} \overline{y})=\overline{x} \cdot \overline{y} \cdot \sum 1=n \cdot \overline{x} \cdot \overline{y}
$$

$$
\sum (x_i \overline{x})=\overline{x} \sum x_i=\overline{x} \cdot n \cdot \overline{x}=n \cdot \overline{x} \cdot \overline{x}=n \cdot \overline{x}^2
$$

$$
\sum (y_i \overline{y} )=\overline{y} \sum y_i=\overline{y} \cdot n \cdot \overline{y}=n \cdot \overline{y} \cdot \overline{y}=n \cdot \overline{y}^2
$$

$$
\sum \overline{x}^2=\overline{x}^2 \sum 1=\overline{x}^2 \cdot n =n \cdot \overline{x}^2
$$

$$
\sum \overline{y}^2=\overline{y}^2 \sum 1=\overline{y}^2 \cdot n =n \cdot \overline{y}^2
$$

===== Covarianza muestral  =====

  * Vamos a calcular
$$
\sum (x_i - \overline{x})(y_i - \overline{y})
$$

  * Ahora expandimos el producto en el sumatorio:
$$
   \sum (x_i - \overline{x})(y_i - \overline{y}) =
$$

$$   
 \sum (x_i y_i - x_i \overline{y} - \overline{x} y_i +\overline{x} \overline{y})=
$$

$$   
 \sum (x_i y_i) - \sum (x_i \overline{y}) - \sum (\overline{x} y_i) + \sum (\overline{x} \overline{y})=
$$

$$   
 \sum (x_i y_i) - n \cdot \overline{x} \cdot \overline{y} - n \cdot \overline{x} \cdot \overline{y} + n \cdot \overline{x} \cdot \overline{y}=
$$

$$   
 \sum (x_i y_i) - n \cdot \overline{x} \cdot \overline{y}
$$

===== Desviación estándar muestral de X  =====

  * Vamos a calcular

$$
\sum(x_i-\overline{x})^2
$$

  * Ahora expandimos el producto en el sumatorio:

$$
\sum(x_i-\overline{x})(x_i-\overline{x})=
$$
 
$$
\sum (x_i^2 + \overline{x}^2 -2x_i\overline{x})=
$$
 
$$
\sum x_i^2 + \sum \overline{x}^2 - 2\sum x_i\overline{x}=
$$

$$
\sum x_i^2 + n \cdot \overline{x}^2 - 2n \cdot \overline{x}^2=
$$

$$
\sum x_i^2 - n \cdot \overline{x}^2
$$

===== Desviación estándar muestral de Y =====

  * Vamos a calcular

$$
\sum(y_i-\overline{y})^2
$$

  * Ahora expandimos el producto en el sumatorio:

$$
\sum(y_i-\overline{y})(y_i-\overline{y})=
$$
 
$$
\sum (y_i^2 + \overline{y}^2 -2y_i\overline{y})=
$$
 
$$
\sum y_i^2 + \sum \overline{y}^2 - 2\sum y_i\overline{y}=
$$

$$
\sum y_i^2 + n \cdot \overline{y}^2 - 2n \cdot \overline{y}^2=
$$

$$
\sum y_i^2 - n \cdot \overline{y}^2 
$$
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