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--- clase:iabd:pia:matematicas:probabilidad [2024/10/06 09:23]
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admin
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-====== Probabilidad ======
+====== Teoría de Probabilidad ======
-===== Media de ratios =====
-Acabamos de ver que según las operaciones que hacemos con nuestros datos, saldrá de forma natural una media u otra. Ahora veamos como podemos hacer medias de métricas en IA pero para introducirlo usaremos un ejemplo básico.
-Imaginemos un estudiantes que durante un primer curso ha aprobado  0,25 exámenes que significa que ha aprobado 5 exámenes de 20 que ha hecho. Y en segundo curso ha aprobado 0,2 exámenes que significa que ha aprobado 5 exámenes de 25 que ha hecho. ¿Cual es la media de exámenes que ha aprobado el alumno en los 2 cursos?
+  * Si $A$ y $B$ son excluyentes
 $$
-Total \; de \; exámenes \; aprobados=exámenes \; aprobados \; en \; el \; primer \; curso+exámenes \; aprobados \; en \; el \; segundo \; curso
+\begin{array}
+\\
+P(A \cup B)&=&P(A)+P(B)
+\\
+\\
+P(A \cap B)&=&0
+\end{array}
 $$
-Pero como sabemos que el número de exámenes aprobados en el primer curso es igual al número de exámenes aprobados en el segundo curso (**y es importante que ésto sea así**). Creamos una nueva variable llamada $exámenes \; aprobados \; por \; curso$
+  * Si $A$ y $B$ son compatibles
 $$
 \begin{array}
 \\
-frecuencia \; exámenes \; aprobados \; primer curso=\frac{exámenes \; aprobados \; por \; curso}{exámenes \; realizados \; en \; el \; primer \; curso}=\frac{5}{20}=0,25 & exámenes \; realizados \; en \; el \; primer \; curso=\frac{exámenes \; aprobados \; por \; curso}{frecuencia \; exámenes \; aprobados \; primer \; curso}=\frac{5}{0,25}=20
+P(A \cup B)&=&P(A)+P(B)-P(A \cap B)
 \\
-frecuencia \; exámenes \; aprobados \; segundo curso=\frac{exámenes \; aprobados \; por \; curso}{exámenes \; realizados \; en \; el \; segundo \; curso}=\frac{5}{25}=0,2 & exámenes \; realizados \; en \; el \; segundo \; curso=\frac{exámenes \; aprobados \; por \; curso}{frecuencia \; exámenes \; aprobados \; segundo \; curso}=\frac{5}{0,2}=25
+\\
+P(A \cap B)&>&0
 \end{array}
 $$
+  * Si $A$ y $B$  independientes.
 $$
-Total \; de \; exámenes \; aprobados=exámenes \; aprobados \; en \; el \; primer \; curso+exámenes \; aprobados \; en \; el \; segundo \; curso= \\ exámenes \; aprobados \; por \; curso+exámenes \; aprobados \; por \; curso=2*exámenes \; aprobados \; por \; curso
+\begin{array}
+\\
+P(A \cup B)&=&P(A)+P(B)-P(A \cap B)
+\\
+P(A \cap B)&=&P(A)*P(B)
+\end{array}
 $$
-$$
-Total \; de \; exámenes \; realizados=exámenes \; realizados \; en \; el \; primer \; curso+exámenes \; realizados \; en \; el \; segundo \; curso= \\ \frac{exámenes \; aprobados \; por \; curso}{frecuencia \; exámenes \; aprobados \; primer \; curso}+\frac{exámenes \; aprobados \; por \; curso}{frecuencia \; exámenes \; aprobados \; segundo \; curso}
-$$
+  * Si $A$ y $B$ son dependientes
-La frecuencia de exámenes aprobados entre los 2 cursos es:
 $$
-frecuencia \; de \; exámenes \; aprobados \; entre \; los \; 2 \; cursos=\frac{Total \; de \; exámenes \; aprobados}{Total \; de \; exámenes \; realizados}=\frac{2*exámenes \; aprobados \; por \; curso}{\frac{exámenes \; aprobados \; por \; curso}{frecuencia \; exámenes \; aprobados \; primer \; curso}+\frac{exámenes \; aprobados \; por \; curso}{frecuencia \; exámenes \; aprobados \; segundo \; curso}}
-$$
-Si nos fijamos vuelve a ser la misma que la fórmula $\mathbf{(1)}$ siendo $\alpha=2*exámenes \; aprobados \; por \; curso$ y $\beta=exámenes \; aprobados \; por \; curso$ , pero puesto que $\alpha=2\beta$ sabemos que $K=x$ por lo tanto se puede calcular con la fórmula $\mathbf{(2)}$  que corresponde a la media armónica y solo depende de la frecuencia de exámenes aprobados en cada curso y ya no del número de exámenes aprobados por curso.
-$$
-frecuencia \; de \; exámenes \; aprobados \; entre \; los \; 2 \; cursos=\frac{2}{\frac{1}{frecuencia \; exámenes \; aprobados \; primer \; curso}+\frac{1}{frecuencia \; exámenes \; aprobados \; segundo \; curso}}=\frac{2}{\frac{1}{0,25}+\frac{1}{0,20}}=0,222
-$$
-Es decir para sacar la media de 2 ratios (metricas de IA) se usa la media armónica siempre y cuando esos 2 ratios se hayan calculando usando el mismo numerador y $\alpha=2\beta$
-===== f1-score =====
-Y por eso en el f1-score se usa la media armónica , ya que se saca la media de los 2 ratios (sensibilidad y precisión) y ambos tienen el mismo numerador cuando se calculan que es $TP$.
-$$
 \begin{array}
 \\
-Sensibilidad=\frac{TP}{TP+FN}&\frac{1}{Sensibilidad}=\frac{TP+FN}{TP}
+P(A \cup B)&=&P(A)+P(B)-P(A \cap B)
 \\
-Precisión=\frac{TP}{TP+FP}&\frac{1}{Precisión}=\frac{TP+FP}{TP}
+\\
+P(A \cap B)&=&P(A)+P(B)-P(A \cup B)
+\\
+P(A \cap B)&=&P(A|B)*P(B)
+\\
+P(A \cap B)&=&P(B|A)*P(A)
 \end{array}
 $$
+  * Y según los valores absolutos:
 $$
-f1-score=\frac{2}{\frac{1}{Sensibilidad} + \frac{1}{Precisión}}=\frac{2}{\frac{TP+FN}{TP}+\frac{TP+FP}{TP}}=
-$$
-$$
-=\frac{2}{\frac{TP+FN+TP+FP}{TP}}=\frac{2}{\frac{2TP+FN+FP}{TP}}=\frac{2TP}{2TP+FN+FP}
-$$
-$$
-f1-score=\frac{2TP}{2TP+FN+FP} \quad \mathbf{(3)} \quad \text{Formula de f1-score según la definición}
-$$
-$$
-\text{Media  entre  Sensibilidad y  Precision}=\frac{Nº \; positivos}{Nº \; totales}=\frac{TP+TP}{(TP+FN) + (TP+FP)}=\frac{2TP}{2TP+FN+FP}
-$$
-$$
-f1-score=\frac{2TP}{2TP+FN+FP} \quad \mathbf{(4)} \quad \text{Formula de f1-score sabiendo que se suman los numeradores y los denominadores de ambas métricas}
-$$
-Acabamos de ver que las fórmulas $\mathbf{(3)}$ y $\mathbf{(4)}$ son iguales y en un caso la hemos obtenido usando la definición de f1-score y en la otra sumando los numeradores y denominadores de ambas métricas.
-Veamos ahora por último como la media armónica es la forma natural para obtener lo mismo.
-$$
 \begin{array}
 \\
-Sensibilidad=\frac{a}{b} &  b=\frac{a}{Sensibilidad}
+\frac{|A \cap B|}{|B|}&=&P(A|B)
 \\
-Precisión=\frac{a}{c} &  c=\frac{a}{Precisión}
+\frac{|A \cap B|}{|A|}&=&P(B|A)
+\\
+\frac{|A \cap B|}{|A|+|\overline{A}|+|{B}|+|\overline{B}|}&=&P(A \cap B)
 \end{array}
 $$
-Hemos dicho que la media de dos métricas , es sumar los numeradores y los denominadores.
-$$
-\text{Media  entre  Sensibilidad y  Precision}=\frac{a+a}{b+c}=\frac{2a}{\frac{a}{Sensibilidad}+\frac{a}{Precisión}}=
-$$
-$$
-=\frac{2a}{a(\frac{1}{Sensibilidad}+\frac{1}{Precisión})}=\frac{2}{(\frac{1}{Sensibilidad}+\frac{1}{Precisión})}=f1-score
-$$
-Si nos fijamos vuelve a ser la misma que la fórmula $\mathbf{(1)}$ siendo $\alpha=2TP$ y $\beta=TP$ y como $\alpha=2\beta$  sabemos que se puede calcular también usando la fórmula $\mathbf{(2)}$ sin que dependa de $TP$ sino únicamente de la Sensibilidad y la precisión.
-Es decir, el objetivo de toda esta página era demostrar que la media entre la sensibilidad y precisión (**f1-score**) obligatoriamente se tiene que calcular usando la media armónica.
-Por lo tanto el motivo de usar la media armónica **NO ES** que la media armónica da más peso a los valores más pequeños de las dos métricas, penalizando los desequilibrios entre Sensibilidad y Precisión sino que simplemente es porque la media armónica calcula exactamente el valor correcto de la media entre la Sensibilidad y Precisión.
-Es decir que dar más peso a los valores más pequeños de las dos métricas es una consecuencia de la necesidad de usar la media armónica y no un objetivo.
-<note important>
-Es importante destacar que la media armónica entre las 2 métricas tiene sentido si ambas métricas tiene la forma:
-$$
-Metrica_1=\frac{a}{b} \quad Metrica_2=\frac{a}{c}
-$$
-Es decir que **ambas métricas tienen el mismo numerador**
-</note>

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