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--- clase:iabd:pia:matematicas:medias [2025/03/01 20:56]
admin [Medias]
+++ clase:iabd:pia:matematicas:medias [2025/03/10 12:48] (actual)
admin [Qué es la media y cuál usar]
@@ Línea 1: / Línea 1: @@
-====== Medias ======
+====== Qué es la media y cuál usar ======
-En esta página vamos a explicar como calcular medias para las métricas de clasificación.
+En esta página se van a resolver las preguntas de
+  * ¿Qué es la media?
-Para ello vamos a empezar preguntándonos: ¿Que es la media? ¿Cual deberíamos usar? ¿Como se calcula?.
+  * ¿Cuál deberíamos usar?
 Existen muchas medias pero una generalización de ellas es la [[https://es.wikipedia.org/wiki/Media_generalizada|Media generalizada]]. Que según un parámetro $p$ puede crear varias medias.
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   * {{ :clase:iabd:pia:matematicas:what_does_the_mean_really_mean.pdf |What Does the “Mean” Really Mean?}}
   * [[https://en.wikipedia.org/wiki/Chisini_mean|Chisini mean]]
+  * {{ :clase:iabd:pia:matematicas:mean_what_do_you_mean.pdf |Mean, What do you Mean?}}
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 $$
-Supongamos que tenemos una empresa en la que trabajan 3 comerciales y cada uno de ellos vende cierto importe en productos un mes. Si el importe de lo que vende cada vendedor los llamamos $A$ , $B$ y $C$. El dinero que consigue al empresa ese mes es $A+B+C=K$. ¿Que sería la media? Sería aquel valor $m$ tal que si las dos personas vendieran lo mismo , su suma volvería a dar $K$. Es decir $m+m+m=K$. Ya que queremos que la empresa siga vendiendo el mismo importe.
+Supongamos que tenemos una empresa en la que trabajan 3 comerciales y cada uno de ellos vende cierto importe en productos un mes. Si el importe de lo que vende cada vendedor los llamamos $A$ , $B$ y $C$. El dinero que consigue al empresa ese mes es $A+B+C=K$. ¿Que sería la media? Sería aquel valor $m$ tal que si las tres personas vendieran lo mismo , su suma volvería a dar $K$. Es decir $m+m+m=K$. Ya que queremos que la empresa siga vendiendo el mismo importe.
 Por lo tanto, ¿como calculamos la media?
@@ Línea 75: / Línea 76: @@
-Supongamos ahora que tenemos un [[https://es.wikipedia.org/wiki/Ortoedro|paralelepípedo rectangular]] cuyos lados tiene de longitud $A$, $B$ y $C$. El volumen de ese paralelepípedos rectangular es $A \cdot B \cdot C=K$. ¿Que sería la media? Sería aquel valor $m$ tal que si todos los lados fueran iguales , su volumen volvería a dar $K$. Es decir $m \cdot m \cdot m=K$.
+Supongamos ahora que tenemos un [[https://es.wikipedia.org/wiki/Ortoedro|paralelepípedo rectangular]] cuyos lados tiene de longitud $A$, $B$ y $C$.
+{{:clase:iabd:pia:matematicas:parallelepipede.png?400|}}
+El volumen de ese paralelepípedos rectangular es $A \cdot B \cdot C=K$. ¿Que sería la media? Sería aquel valor $m$ tal que si todos los lados fueran iguales , su volumen volvería a dar $K$. Es decir $m \cdot m \cdot m=K$.
 Por lo tanto, ¿como calculamos la media?
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 Lo datos $v'_1,v'_2, ... , v'_s$ ahora siguen una distribución Beta (desplazada) y por lo tanto podemos definir dicha distribución Beta a partir de los parámetros $\alpha$ y $Beta$.
-Ahora ya no aparece la media ya que no nos es necesaria para nuestro problema.
+Ahora ya no aparece la media ya que no nos es necesaria para definir a la distribución beta.
 Resumiendo , en estos problemas que hemos creado tenemos dos tipos de medias:
   * Aquella media exacta que nos es útil en nuestro problema real y cuya función de media lo es respecto a una función medidora. En nuestro ejemplo $v_m$
-  * Aquella media que nos ayuda a determinar como es una distribución estadística. En nuestro ejemplo $\mu$.
+  * Aquella media que nos ayuda a determinar o especificaar como es una distribución estadística. En nuestro ejemplo $\mu$.
 ===== Conclusión =====
 Por lo tanto, ¿Que media deberíamos usar? Pues dependerá de la operación aritmética que hagamos con nuestros números y cuyo resultado queramos que sea constante.
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 $$m=1,3276$$
-Es decir, como media cada año ganó un 32,76% y es exactamente la media geométrica de los 3 datos.
+Es decir, como media cada año ganó un 32,76% y es "exactamente" la media geométrica de los 3 datos.
 ¿Tiene sentido preguntarse por el valor de la media aritmética de los 3 valores? ¿Es importante que dicha media aritmética sea mayor o menor que la media geométrica? Para ambas preguntas la respuesta es **No**. Porque la media correcta en este caso es la media geométrica y no puede usarse ninguna otra media. Y por tanto la media geométrica es el valor correcto para la media de porcentajes.
+El problema anterior se puede generalizar expresándolo de la siguiente forma.
+Imaginemos que el dinero inicial es $d$ y que cada uno de los porcentajes es $x_1, x_2, \ldots, x_n$ .
+Entonces el dinero ganado es:
+$$
+Dinero \; Ganado=d \cdot (1+\frac{x_1}{100}) \cdot (1+\frac{x_2}{100})  \ldots  (1+\frac{x_n}{100})=d \cdot \prod_{i=1}^{n} 1+\frac{x_i}{100}
+$$
+Sabiendo que queremos mantener constante la cantidad de dinero ganado resulta que:
+$$
+Dinero \; Ganado=d \cdot (1+\frac{m}{100}) \cdot (1+\frac{m}{100})  \ldots  (1+\frac{m}{100})=d \cdot \prod_{i=1}^{n} 1+\frac{m}{100}
+$$
+Igualando ambas ecuaciones y despejando $m$
+$$
+d \cdot \prod_{i=1}^{n} 1+\frac{m}{100}=d \cdot \prod_{i=1}^{n} 1+\frac{x_i}{100}
+$$
+$$
+\prod_{i=1}^{n} 1+\frac{m}{100}=\prod_{i=1}^{n} 1+\frac{x_i}{100}
+$$
+$$
+(1+\frac{m}{100})^n=\prod_{i=1}^{n} 1+\frac{x_i}{100}
+$$
+$$
++\frac{m}{100}=\sqrt[n]{\prod_{i=1}^{n} 1+\frac{x_i}{100}}
+$$
+$$
+\frac{m}{100}=\sqrt[n]{\prod_{i=1}^{n} 1+\frac{x_i}{100}}-1
+$$
+Se obtiene que:
+$$
+m=100 \cdot \left( \sqrt[n]{\prod_{i=1}^{n} 1+\frac{x_i}{100}}-1 \right)
+$$
 ===== Distribución de las medias =====
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 ¿podríamos decir que la media aritmética está //en medio// de las medias generalizadas? ¿Es la mejor de las medias?¿tiene algo de especial? Todas esas preguntas no se responderlas.
+<note tip>
+Existe otra característica de la media aritmética. Tambien es el valor que minimiza las desviaciones de los datos. Vamos a poner un ejemplo:
+Supongamos que tenemos tres valores observados:
+$$
+x_1 = 2, \quad x_2 = 4, \quad x_3 = 6
+$$
+Su media aritmética es $4$:
+$$
+\bar{x} = \frac{2 + 4 + 6}{3} = \frac{12}{3} = 4
+$$
+Pero ahora vamos a calcular la suma de los cuadrados de las desviaciones con respecto a un punto $𝑐$:
+$$
+S(c) = (c - 2)^2 + (c - 4)^2 + (c - 6)^2=
+$$
+$$
+= (c^2 - 4c + 4) + (c^2 - 8c + 16) + (c^2 - 12c + 36)=
+$$
+$$
+= 3c^2 - 24c + 56
+$$
+Para minimizar esta función, derivamos respecto de $𝑐$, igualándolo a cero:
+$$
+\frac{\partial S(c)}{\partial c} = 0
+$$
+$$
+\frac{\partial S(c)}{\partial c} =\frac{\partial 3c^2 - 24c + 56}{\partial c}= 6c - 24
+$$
+$$
+\frac{\partial S(c)}{\partial c} = 6c - 24 = 0
+$$
+$$
+c - 24 = 0
+$$
+$$
+c=\frac{24}{6}=4
+$$
+Que era la media aritmética
+</note>

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